Sifat Matematika

Filosofi Matematika

Para matematikawan tidak mengetahui keberadaan objek matematika dan tidak mengetahui bahwa teorema yang mereka buktikan dalah benar. Ilustrasi tentang kenyataan ini dapat dilihat dari fakta tentang  sistem matematika yang didasarkan pada definsi yang mengasumsikan keberadaan entitas matematika. Sebagai contohnya adalah dalil yang dinyatakan oleh ahli logika dari Italia Giuseppe Peano (1858-1932) berikut ini.

(a)    1 merupakan bilangaan asli

(b)   Suksesor dari suatu bilangan asli adalah bilangan asli

(c)    Tidak ada dua bilangan asli yang memiiki suksesor yang sama

(d)   1 bukan merupakan suksesor dari beberapa bilangan asli

(e)    Beberapa sifat dari 1 dan suksesor dari setiap bilangan asli  merupakan sifat dari semua bilangan asli.

Asumsi terakhir dari dalil di atas disebut dengan prinsip induksi matematika. Jika suksesor berarti penjumlahan dengan 1, maka yang dinamakan bilangan asli adalah 1, 2, 3, .... Namun karena suksesor merupakan istilah yang tak terdefinisi, jika kita mengartikan suksesor dengan pembagian dengan tiga, maka dalil tersebut akan membangkitkan bilangan-bilangan 1, 1/3, 1/9, 1/27, 1/81, ...

Dengan demikian setelah kita mendefinisikan bilangan asli dengan cara seperti ini  maka kita tidak tahu secara tepat tentang topik pembicaraan.

Penggunaan dalil (e) dan mengasumsikan aturan penjumlahan dan perkalian untuk bilangan asli, maka teorema

adalah benar karena

Begitu juga halnya dengan

maka akan mengukuti bahwa

Hal ini terjadi jika dalil (e) adalah benar. Teorema tersebut adalah benar jika dalil (e) adalah benar. Karena dalil (e) diasumsikan benar tanpa pembuktian, kita tidak benar-benar mengetahui teorema tersebut adalah benar. Dengan demikian logika dan prosedur matematika berimplikasi terhadap kebenaran suatu teorema.

Kesimpulan dari dalil tersebut adalah bahwa Peano mendefinisikan bilangan-bilangan asli, yang mungkin tidak ada, dan kita membuktikan teorema yang mungkin tidak benar tentang bilangan-bilangan tersebut.

Matematikawan adalah orang yang menemukan matematika, kalimat ini mengilustrasikan isu filosofi yang dalam, membagi matematikawan tersebut yang berkonsentrasi terhadap isu tersebut menjadi dua pemikiran. Pemikiran pertama mempercayai bahwa matematikawan ada di alam hanya karena hukum fisika ada di alam yang kemudian matematikawan tersebut meneukan hukum-hukum tertentu tentang matematika. Pemikiran yang kedua merasa bahwa matematika seperti suatu pekerjaan seni, suatu lukisan akan tidak ada sampai seniman, dalam hal ini adalah matematikawan menciptakannya. Masih ada juga yang percaya bahwa “Tuhan membuat biangan bulat, semua sisanya merupakan pekerjaan manusia” seperi yang dikerjakan oleh matematikawan Jerman Leopold Kronecker.

Selanjutnya telah ditunjukkan bahwa matematika tradisional dapat diturunkan dari bilangan asli. Matematikawan Yunani, Phytagoras mempercayai bahwa tidak hanya matematika, tetapi apa saja dapat dideduksi dari bilangan. Dalam perkembangan selanjutnya penganut ilmu pitagoras mengalami masalah yaitu ditemukannya bilangan irasional yang disebut dengan bilangan yang tidak dapat diukur. Dengan kata lain tidak ada yang dapat mengukur dalam satuan rasional walau sekecil apapun. Sebagai contoh bilangan 1,414 dapat diukur menggunakan suatu satuan panjang 0,001 namun masih tidak ada satuan irasional yang dapat digunakan untuk mengukur . Bilangan yang dapat diukur, yang dapat direpresentasikan dalam hasil bagi dua bilangan bulat disebut dengan bilangan rasional, sedangkan bilangan yang tidak dapat diukur disebut dengan bilangan irasional. Akar kuadrat dari 2 dapat ditunjukkan sebagai irasional yaitu tidak dapat diekspresikan sebagai hasil bagi bilangan bulat. Jika  adalah rasional, maka = dimana k dan m adalah bilangan bilangan bulat prima relatif; yaitu adalah suatu pecahan yang telah direduksi menjadi istilah yang sederhana. Dengan demikian

dan

Karena disebelah kanan tanda sama dengan merupakan bilangan genap, juga harus bilangan genap. Jika adalah suatu bilangan genap, maka k adalah juga suatu bilanag genap. Akibatnya, dapat dituliskan sebagai dan

Dengan pemikiran seperti ini, dan m harus bilangan genap. Karena k dan m dipilih untuk menjadi bilangan prima secara relatif. Dengan demikian, asumsi bahwa adalah rasional menimbulkan kontradiksi, yang berakibat bahwa  adalah irasional.

Dalam hal sistem logika dengan dua nilai, nilainya bernilai benar (T) atau salah (F). Sebagai contoh tabel kebenran dari sistem logika dengan dua nilai untuk operasi konjungsi, p dan  q, dinyatakan sebagai berikut.

p	q	p and q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

Jika p dan q merupakan pernyatan benar, maka pernyataan p and q adalah benar. Jika salah satun pernyataannya adalah salah maka pernyataan p and q akan salah. Dalam pengaplikasian pada berbagai bidang ilmu ternyata ada pernyataan yang tidak terdefinisi apakah benar atau salah (U) seperti pada tabel kebenaran di bawah ini.

p	q	p and q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F
T	U	U
U	T	U
F	U	F
U	F	F
U	U	U

Hal demikiann juga perlu dipahami untuk aplikasi dari sistem logika yang lain, yaitu sistem logika dengan tiga nilai pernyataan.

Struktur Sistem Matematika

Matematika dapat dibagi menjadi 4 bagian yang utama, yaitu aritmatik tinggi (higher arithmatic), aljabar, geometri, dan analisis. Rajanya matematika adalah aritmatika tinggi (juga disebut teori bilangan). Ini merupakan kajian struktur, relasi, dan operasi pada integer. Aritmatik tinggi mungkin hanya merupakan bidang matematika yang membentuk deret tak berhingga. Seorang geometer yunani Euclid (300 SM) membuktikan bahwa bilangan prima adalah tak berhingga. Selanjutnya Alexandrian pada abad ke-3 SM mengembangkan pengayaan untuk menghilangkan komposit bilangan-bilangan dari suatu himpunan bilangan asli, meninggalkan bilangan prima. Suatu bilangan prima adalah bilangan yang faktornya hanya dirinya dan 1. Bilangan-bilagan yang memiliki faktor-faktor penjumlahan ini adalah bilangan komposit (composite number). Pembuktian bahwa tidak ada suatu bilangan prima tak berhingga sama dengan mendemonstrasikan bahwa tidak ada bilangan prima p yang terbesar. Anggap bahwa ada suatu bilangan prima p terbesar; dari bilangan N, yang mana merupakan 1 plus produk dari semua bilangan prima.

N dapat berupa bilangan prima atau komposit. Jika N adalah bilangan komposit, maka dapat difakorkan menjadi prima. Namun bilangan-bilangan prima ini tidak dapat berupa bilangan 2, 3, 5, ∙ ∙ ∙, p; karena dari bilangan bilangan tersebut tidak ada yang memiliki faktor N. N dibagi dengan setiap bilangan prima dari 2 samapi p menghasilkan sisa 1; sehingga jika N merupakan komposit, satu dari faktor primanya harus lebih besar dari p. Jika N lebih besar dari p, maka harus ada suatu bilangan prima N yang lebih besar dari p. Dalamkasus lain asumsi bahwa p merupakan bilangan prima terbesar akan menyebabkan kontradiksi; sehingga akan tidak ada bilangan prima terbesar.

Kajian dan analisis tentang proses tak berhingga juga dilakukan oleh Isaac Newton dan Leibniz. Walaupun matematika dapat dibagi menjadi 4 bagian utama seperti disebutkan di atas, matematika juga dapat dibagi menjadi kajian dari proses diskrit (proses berhingga) dan kajian proses tak berhingga. Teknik aljabar dan geometri yang dikaji pada sekolah menengah pertama kebanyakan merupakan proses diskrit, dan kalkulusnya berorientasi pada proses tak berhingga, namun tidak ada cabang matematika yang secara eksklusif berorientasi pada suatu yang berhingga dan tak berhingga. Bahkan juga di SMA juga demikian. Sebagai contoh rumus penjumlahan dari suatu geometeri tak berhingga , dimana a merupakan keadaan pertama dan r merupakan rasio, melibatkan penjumlahan (mencari limit) suatu deret tak berhingga.

Satu dorongan yang dapat menyatukan matematika disediakan oleh struktur dasar dari sistem matematika. Setiap sistem matematika bertumpu pada serangkaian masalah uniknya yang tak terfinisi dan aksioma yang tak terbuktikan. Selanjutya dalam pembahasan buku ini dan mungkin juga buku-buku lain antara aksioma dan dalil (postulat) dianggap sebagai kata yang bersinonim.

Dalam proses pembuktian terdapat metode pembuktian non-konstruktif yang dikritik oleh Cantor. Pembuktian non-konstruktif tersebut dilakukan dengan cara membentuk atau menetapkan keberadaan solusi untuk kelas persamaan tertentu tetapi tidak akan mengkhususkan suatu metode untuk mencari solusi tersebut. Sebagai contoh, bukti dari rumus kuadratik bahwa

adalah solusi dari merupakan pembuktian yang konstruktif karena menghasilkan suatu prosedur (algoritma) dimana solusi terhadap persamaan kuadrat dapat dihasilkan dalam bentuk langkah-langkah bilangan berhingga. Naun pada kenyataannya masih terdapat matematikawan yang mengalami kesulitan untuk menerima prosedur matematika dalam hal proses dan serangkaian tak berhingga.

Suatu himpunan bilangan asli kuadrat yang smpurna memiliki bilangan kardinal yang sama sebagai himpunan dari bilangan asli. Suatu korespondensi satu-satu antara elemen-elemen dari dua himpunan ini ditunjukan dengan memuat daftar bilangan kuadrat sempurna di bawah bilangan asli yang masing-masing komponennya berpasangan.

1          2          3            4          5   ∙   ∙   ∙  n    ∙   ∙   ∙ 

1          4          9          16        25   ∙   ∙   ∙  n²   ∙   ∙   ∙ 

Dengan mamasangkan biangan asli dengan kuadratnya, maka akan terbentuk korespondensi satu-satu antara elemen-elemen dari dua himpunan tersebut.

Bilangan kardinal dari suatu himpunan berhingga merupakan bilangan dari elemen-elemen dari himpunan tersebut. Bilangan kardinal dari himpunan bilangan asli, atau himpunan yang lain yang elemen-elemennya dapat diletakkan dalam korespondensi satu-satu dengan bilangan asli, dinyatakan dengan simbol א‎₀, dibaca dengan aleph null dimana aleph merupakan huruf pertama dari alfabet Yahudi, dan null ada nol. Karena satu sifat dari himpunan tak berhingga adalah bahwa elemen-elemnya dapat dibuat korespondensi satu-sat. Set dari bialanga ril adalah salah satu contoh dari suatu himpunan yang bilangan kardinalnya lebih besar dari א‎₀. Suatu metode untuk membangkitkan himpunan tak berhingga yang lebih besar adalah untuk membangkitkan semua sub himpunan dari himpunan tak berhingga yang ada. Set dari semua  sub himpunan yang berbeda dari suatu himpunan yak berhingga akan menjadi himpunan yang dilangan kardinalnya lebih besar dari himpunan aslinya.

Berdasarkan suatu abstrak, sistem matematika deduktif tak tedefinisi yang besimbol kosong, dan aksioma yang tak dapat dibuktikan memiliki keuntungan yang umum dan efisien. Sebagai contoh, konsep abstrak  dari kelompok matematika adalah kelompok yang cukup umum untuk digunakan dalam menyatukan suatu bilangan dari konsep yang lain pada setiap teori bilangan, aljabar, geometri, dan analisis. Banyak struktur matematika yang berbeda memiliki empat sifat dasar dari suatu kelompok, yaitu:

(1)   Suatu kelompok adalah suatu himpunan bukan kosong dari elemen-elemen yang memiliki suatu operasi biner pada elemen-elemennya. Operasi biner ini adalah suatu aturan untuk mengkombinasikan dua elemen dalam himpunan untuk memperoleh suatu elemen dari himpunan.

(2)   Terdapat suatu elemen identitas dalam himpunan yang dikombinasikan dengan beberapa elemen himpunan menghasilkan elemen itu.

(3)   Setiap elemen dari himpunan tersebut memiliki suatu invers yang mengkombinasikan dengan elemen-elemen itu untuk memberikan elemen identitas.

(4)   Operasi biner adalah suatu operasi asosiatif.

Setiap sistem matematika dibuat dari hal yang tak terdefinisi, hal yang terdefinisi, aksioma, dan teorema. Jika suatu sistem matematika abstrak menjadi suatu efisiensi yang maksimum dan berguna, maka ini juga harus lengkap, independen, terkategori, dan konsisten.

Sistem matematika adalah lengkap jika dapat dibuktikan atau dibantah dalam setiap proporsi tentang hal yang tidak diketahui dan aksioma dari sistem. Jika beberapa proporsi tidak dapat diputuskan, maka sistem matematika dinyatakan tidak lengkap.

Dalam matematika terdapat dilema. Salah satu dilema yang membuat frustasi dalam matematika yang dihasilkan dari kesulitan yang ekstrim dari pembangunan suatu sistem matematika yang tak terbatas yang bersifat konsisten. Pada tahun 1931 Kurt Goodle membuktikan bahwa setiap sistem matematika haruslah tidak lengkap. Karena masih dapat membutikan dan membantah, maka setiap proporsi dari validitas sistem matematika adalah tidak vital, penemuan ini bukan merupakan bencana bagi pondasi matematika. Namun hal ini agak membingungkan untuk mencari proporsi tak terputuskan oleh Goodle dalam beberapa sistem yang merupakan konsistensi dari sistem matematika.

Dengan menghilangkan simbolisme kompleks dan teknis dari bukti Goodle, basis intuitif dari bukti ini adalah mirip dengan hal-hal di bawah ini.

(1)   Jika suatu proporsi dan kontradiksinya keduanya dapat dibuktikan, maka proporsi tersebut adalah inkonsisten. Akibatnya, sistem matematika yang mengandung proporsi ini adalah inkonsisten juga.

(2)   Jika suatu proporsi dan kontradiksinya keduanya tak terputuskan maka pembuktian dan pembatahan proporsi ini adalah tidak mungkin. Sebagai hasilnya, konsistensi dari proporsi ini dan kontradiksinya juga tidak dapat terputuskan.

(3)   Untuk konsistensi dari suatu sistem matematika menjadi tak terputuskan adalah tidak sama dengan sistem yang menjadi inkonsisten. Untuk konsistensi sistem yang tak terputuskan berarti bahwa sistem ini tidak dapat dtentukan jika sistemnya inkonsisten.

Goodle menunjukkan bahwa setiap sistem matematika memiliki proporsi-proporsi yang tidak dapat diputuskan. Menggunakan argumen (1), (2) dan (3) di atas, akan membtuk konsistensi dari setiap sistem tidak dapat diputuskan.

Pendekatan Modern pada Matematika

Sekitar tahun 1960 sejumlah proyek terpisah dilakukan untuk menghasilkan buku teks matematika sekolah yang berisi beberapa perkembangan-perkembangan terakhir dalam bidang matematika dan pendekatan modern tentang pemecahan masalah matematika. Banyak dari buku teks ini dilengkapi dan digunakan di sekolah-sekolah tahun 1965, dan pada tahun 1995 kritik-kritik dari apa yang disebut dengan matematika sekolah modern yang berasal  dari sebagian kecil guru matematika dan matematikawan. Pada tahun 1975 kajian penelitian dan evaluasi mengindikasikan bahwa siswa-siswa yang menggunakan buku teks matematika baru mengerjakan tes konsep matematika yang sama dengan orang yang mempelajari matematika dari teks yang lama yang berisi matematika klasik. Namun, program ujian berskala besar dari keterampilan aritmatika menunjukkan bahwa siswa-siswa yang belajar matematika baru tidak mengerjakan aritmatika seperti siswa-siswa terdahulu yang telah mempelajari matematika tradisional. Hal ini juga ditemukan bahwa suatu proporsi besar dari orang dewasa tidak dapat menyelesaikan masalah yang berisi pecahan dan desimal. Meskipun penurunan ini tampak dalam kemampuan matematika tidak dapat langsung dihubungkan dengan perubahan dalam matematika sekolah dan metode-metode pengajaran matematika, hal menghasilkan suatu gelombang kritik dari matematika modern dan suatu penekanan yang diperbaharui pada pengajaran keterampilan aritmatika dasar.

Meskipun buku teks matematika sekolah menengah pertama berisi beberapa matematika yang dikembangkan dalam dua ratus tahun sebelumnya, mereka tidak merepresentasikan suatu gambar yang akurat secara lengkap dari sifat matematika modern. Menurut E.T. Bell dalam bukunya yang berjudul The Development of Mathematics (1945), suatu pembagian konvensional dari sejarah matematika berisi tujuh periode:

(1)   Dari waktu awal sampai Babilonia dan Yunani kuno, inklusif

(2)   Kontribusi Yunani sekitar tahun 600 SM sampai sekitar tahun 300 M, yang terbaik berada di abad keempat dan ketiga SM.

(3)   Orang-orang Oriental dan Semit – Hindu, Cina, Persia, Muslim, Yahudi dan lain-lain, sebagian sebelumnya, sebagian setelahnya(2), dan perluasan (4)

(4)   Eropa selama kebangkitan dan reformasi,  kira-kira abad ke 15 dan 16.

(5)   Abad ke 17 dan 18.

(6)   Abad ke 19

(7)   Abad ke 20

Pembagian ini mengikuti perkembangan kehidupan barat dan secara bebas dan pinjamannya pada timur. Mungkin hanya satu, meskipun tren baru sangat signifikan menjadi jelas segera setelah 1900.

Beberapa sejarawan matematika mempertimbangkan waktu sebelum tahun 1800 menjadi periode klasik dari sejarah matematika, sedangkan waktu sesudah tahun 1800 disebut sebagai periode modern; karenanya muncul istilah matematika modern. Matematika berkembang sejak tahun 1637,  waktu publikasi geometri analitik dari Rene Descartes, sampai tahun 1800 dapat juga dipertimbangkan sebagai modern, karena tersedia basis untuk suatu habisnya metode klasik dan mempersiapkan tahap pendekatan modern pada perkebangan matematika. Meskipun Descartes (1596-1650) menemukan geometri analitik, secara independen Pierre Format (1601-1665) juga menemukan subjek ini.

Aritmatika Modern

Aritmatika klasik yang dimulai sebelum sejarah tercatat sejak manusia mengenal bahwa beberapa himpunan lebih banyak berisi objek dari pada yang lain dan ketika primitif dapat menghitung 1, 2, 3, dan seterusnya.

Perkembangan aritmatika dan bidang matematika yang lain dipengaruhi oleh dua factor, yaitu (a) kelemahan sistem simbolisasi aritmatikam dan (b) kecenderungan penemuan yang terisolasi dan hilang selama berabad-abad dan ditemukan kembali ditempat yang lain. Matematikawan murni Jerman, bernama Carl Friedrich Gaus (1777-1855) melakukan pengkajian pada teori bilangan dan hasilnya dapat memberi kontribusi bagi perkembangan cabang matematika ini. Selanjutnya Gaus menyebutnya sebagai aritmatika.

Salah satu masalah penting dalam aritmatika tingkat tinggi adalah mencari solusi integer dari persamaan yang memiliki variabel lebih dari satu. Contohnya adalah persamaan tak tentu (disebut analisis diophantine) atau dan penyelesaiaan integral.

Berdasarkan yang dikemukakan oleh Format untuk persamaan tidak memiliki penyelesaian dalam bilangan asli yang lebih dari 2.

Salah satu cabang aritmatika modern yang muncul dari analisis diophantine adalah teori kongruensi yang dikembangkan oleh Gaus. Dia mendefinisikan 2 integer sebagai konruen pada bilangan asli modulo n jika perbedaannya dapat dibagi dengan n. Sebagai contoh, jika n =3, 1, dan 121 adalah kongruen modulo 3; karena 121 – 1 = 120 nyatanya dapat dibagi dengan 3. Pernyataan ini ditulis  (mod 3). Pada kenyataannya, setiap integer dalam himpunan:

adalah ekuivalen dengan 1 modulo 3

Setiap integer dalam

adalah ekuivalen dengan 2 modulo 3

Setiap integer dalam

adalah ekuivalen dengan 0 modulo 3.

Tiga himpunan integer tak berhingga ini dapat direpresentasikan dengan simbol [0], [1], [2]. Ekuivalensi modulo 3 telah membagi himpunan integer menjadi 3 sub himpunan yang disebut dengan kelas ekuivalensi. Semua integer yang ada pada [0], [1], [2] dianggap ekuivalen.

Membagi sset berarti memisahkannya menjadi sub himpunan-sub himpunan sehingga setiap elemen dari himpunan tersebut muncul dalam satu sub himpunan. Setiap bilangan asli n akan membagi integer menjadi n  kelas ekuivalensi. Hal ini memungkinkan untuk mendefinisikan operasi pada kelas ekuivalensi dan mengkaji sifat-sifat aljabar dari kelas ekuivalensi.

Selanjutnya Gaus dan yang lain mempelajari persamaan yang mengandung variabel-variabel dan ekuivalensi modulo n, seperti persamaan  (mod 3) memiliki solusi x = [1], karena

jika kita mendefinisikan

 dan

Kelas ekuivalensi dari integer modulo-n bersama dengan penjumlahan dan perkalian kelas ekuivalensi merupakan hal yang penting dalam lajabar modern karena menyediakan suatu cara untuk mempelajari secara tidak langsung terhadap sifat-sifat himpunan integer tak berhingga dan operasi-operasi integer melalui himpunan berhingga dari kelas ekuivalensi.

Dengan penjumlahan dan perkalian bilangan asli, integer dapat didefinisikan sebagai basangan berurut (m,n) dari bilangan asli, atau lebih tepatnya bilangan-bilangan tersebut didefinisikan sebagai kelas ekuivalensi dari pasangan-pasangan berurut. Integer 0 didefinisikan sebagai himpunan dari semua pasangan berurut dari bilangan asli berbentuk (k,k), yaitu

{(1,1), (2,2), (3,3), ∙ ∙ ∙ (k,k) ∙ ∙ ∙

Integer – 5 adalah himpunan pasangan dari bentuk (m,m+5), yang himpunannya adalah {(1,6), (2,7), (3,8), ∙ ∙ ∙  (m,m+5), ∙ ∙ ∙ ). Integer +5 merupakan hipunan pasangan bilangan asli  berbentuk (m+5, m) yang himpunannya adalah {(6,1), (7,2), (8,3) ∙ ∙ ∙ (m+5, m), ∙ ∙ ∙ . Setiap pasangan dalam suatu himpunan dianggap ekuivalen dengan setiap setiap pasangan yang lain dalam himpunan.

Dua contoh terakhir ini menggambarkan bahwa suatu integer negatif merupakan suatu himpunan dari pasangan ekuivalensi, bilangan pertama dari setiap pasangan menjadi lebih kecil dari bilangan kedua. Pasangan bilangan asli untuk integer positif memiliki elemen pertama yang lebih besar. Simbolisasi dapat direduksi dengan merepresentasikan suatu integer {∙ ∙ ∙ (p,q) ∙ ∙ ∙} dengan simbol [p,q]. Integer [m,n] dan [p,q] adalah ekuivalen jika

Dengan menggunakan notasi yang singkat, penjumlahan integer didefinisikan dengan

dan pengurangan dengan

Jadi,  

         

Dan   

         

Bilangan-bilangan asli adalah tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian karena hasil penjumlahan atau hasil kali dari dua bilangan asli adalah bilangan asli juga. Walupun bilangan asli tidak tertutup terhadap pengurangan, integer dapat berupa bilangan asli maupun tertutup terhadap pembagian.

Himpunan bilangan rasional dapat didefinisikan sebagai ekuivalensi dan pasangan integer berurut. Bilangan rasional dimana q tidak sama dengan nol adalah yang dapat disederhanakan menjadi . Jika p dan q adalah bilangan prima, maka himpunan  mengandung semua pasangan integer dari bentuk dimana n adalah bilangan asli. Bilangan rasional [p,q] adalah ekuivalen dengan [r,s]  jika ps = rq. Jumlah dari  dan  =  adalah dan selisihnya adalah . Hasil kali  dan hasil bagi . Bilangan rasional tertutup terhadap pembagian, kecuali pebagian dengan nol.

Sebagai contoh aritmatika dari bilangan rasional,  pertimbangkan  dan

Bilangan riil tidak dapat didefinisikan sebagai pasangan berurut dari bilangan. Satu definisi adalah bahwa suatu bilangan riil merupakan kelas ekuivalensi dari deret Cauchy tak berhingga dari bilangan rasional. Deret ini mirip dengan deret konvergen. Perbedaan kedua deret tersebut dapat dilihat pada conth berikut.

Jika R adalah himpunan dari semua bilangan rasional dan S adalah sub himpunan relasional yang bukan integer. Deret konvergen terhadap bilangan asli nol yang termasuk dalam R. Deret ini merupakan deret konvergen dalam R, karena memiliki limit dalam R. Ini juga merupakan deret Cauchy dalam R. Namun, deret ini tidak konvergen terhadap S; walaupun ini  merupakan deret Cauchy dalam S. Hal ini menunjukkan bahwa setiap deret konvergen merupakan Cauchy, tetapi tidak semua Cauchy merupakan deret konvergen.

Deret bilangan rasional

Dapat ditunjukkan dalam suatu deret Cauchy yang tidak memiliki limit dalam himpunan bilangan rasional. Limit dari deret ini adalah bilangan irasional e, yaitu basis untuk logaritma asli dan merupakan bilangan dasar dalam kalkulus.

Banyak perbedaan deret Cauchy dengan limit yang sama. Contohnya,

deret

 (untuk k suatu konstanta)

semuanya konvergen terhadap bilangan ril satu. Untuk bilangan rasional r, dimungkinkan untuk membangun sutau bilangan tak berhingga dari deret-deret yang konvergen terhadap r, akibatnya bilangan ril r didefinisikan dengan kelas ekuivalensi yang mengandung semua deret yang konvergen terhadap r. jika deret Cauchy dalam suatu kelas ekuivalensi tidak konvergen terhadap bilangan rasional, maka bilangan irasional direpresentasikan dengan kelas ekuivalensi tersebut.

Karena deret tak hingga dapat ditambah, dikurang, dikali dan dibagi, operasi-operasi ini dapat didefinisikan pada deret Cauchy, hasil dalam aritmatika bilangan ril dapat didefinisikan uga.

Dengan menggunakan deret Cauchy untuk mendefinisikan bilangan ril, membuat ketertarikan pada matematikawan yang suka bekerja dengan deret tak hingga. Metode Richard Dedekind, yang mendefinisikan bilangan ril sebagai sebagai partisi dari bilangan rasional hanya bersifat teori. Dia menganggap bilangan rasional sebagai titik-titik pada suatu garis bilangan. Dia mengobservasi bahwa setiap bilangan rasional “memotong” garis bilangan menjadi dua bagian, yaitu bagian kiri dan bagian kanan dari garis bilangan yang berisi bilangan-bilangan rasional. Sebagai contoh,  memotong garis bilangan dalam satu hipunan rasional kurang dari dan hipunan lain yang lebih besar dari . Jika diletakkan dalam hipunan yang lebih kecil, himpunan yang lebih besar tidak memiliki rasional terkecil. Jika  berada dalam himpunan yang lebih besar, himpunan yang lebih kecil tidak memiliki rasional terbesar. Dua fakta ini dapat dicari dengan mengobeservasi bahwa jika r adalah rasional terbesar dalam himpunan yang lebih kecil dan s yang terkecil terkecil dalam himpunan yang lebih besar, maka bilangan rasional  tidak berada dalam keduanya, hal ini kontra dengan definisi dari “memotong”

Selain bilangan ril, terdapat juga bilangan kompleks. Suatu bilangan kompleks didefinisikan sebagai pasangan berurut dari bilangan ril; atau lebih tepatnya, suatu bilangan dengan bentuk  dimana a dan b adalah ril dan . Tentunya aritmatika bilangan kompleksa mirip dengan aritmatika binomial dari bentuk . Pengecualiannya adalah bahwa kuadrat dari  adalah bilangan ril .

Berdasarkan bilangan  kompleks ini kemudian muncul bilangan hiper kompleks dan kahirnya muncul aljabar quaternion, yang diprakarsai oleh Hamilton (1805-1865). Hamilton mendefinisikan suatu bilangan hiper kompleks sebagai bilangan  dimana a, b, c, dan d merupakan bilangan ril dan i, j, dan k merupakan simbol yang hasil kalinya dedefinisikan dalam table perkalian. Hal ini dapat dilihat dari table bahwa perkalian adalah tidak komutatif. Sebagai contoh  tetapi .

	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	– 1	k	-j
j	j	– k	– 1	i
k	k	j	– i	– 1

Dengan menggunakan table hasil perkaian dan penyederhanaan yang sesuai, perkalian quaternion adalah sama dengan perkalian polinomial. Contoh

Posted in: Aktivitas Mengajar